频域振动疲劳计算的最新技术（一）
MSC Nastran Embedded Vibration Fatigue (NEVF)介绍
概述
疲劳损伤计算方法主要有准静态方法、时域振动方法和频域振动方法。 本文首先对这三种方法进行了描述和比较，阐述了频域振动疲劳计算的优异性。并在介绍了利用功率普密度进行频域疲劳分析具有足够精度的研究结果基础上，介绍MSC Nastran最新推出的频域振动疲劳寿命预测(NEVF)的功能及技术突破。在稍后发布的频域振动疲劳计算的最新技术系列文章（二）和(三)里， 我们还将详细阐述频域振动的理论以及频域的FEM振动计算。
疲劳损伤计算方法
A)准静态分析法
将载荷的时间历程进行静态分析(SOL 101)，得出结构的应力时间历程分布，然后把多通道的载荷线形叠加后进行疲劳分析。疲劳损伤主要是来自于局部的应力集中。
当激励载荷的频率远小于所分析结构的固有频率时，结构的动力响应可以忽略，比如，对于一般车辆疲劳试验路面，波长和车速已知，来自路面的载荷频率通常小于6Hz，远小于白车身的固有频率，准静态法适用。
B)时域振动分析法
当疲劳路面为激励共振路面（如鹅卵石和搓板路面）时，路面波长比较短，在车辆达到一定速度时加载频率显著提高，有必要考虑其动力响应。动态载荷会引起共振（局部共振，整体共振）。发生振动的结构疲劳损伤，经常是局部振动和应力集中两种因素的共同作用的结果，这是只考虑应力集中一项因素的准静态法所难以对应的。
在高于结构固有频率的载荷下进行疲劳损伤评价，为了考虑结构振动引起的疲劳破坏，需要进行结构在动态载荷下的动态响应分析。但是，对于具有几十万个单元的白车身级别的时域疲劳分析(SOL 109， SOL 112)，即使只对线性系统进行几十秒的瞬态分析也很难完成。
C)频域振动分析法
一般来说得到一个应力的功率普密度(PSD)比应力的时间历程要容易。 而且快速的频率响应(传递函数)计算比耗时的时域动力响应计算更有参考价值。比如在上世纪80年代的海洋工程就面临这样的问题，海洋平台的结构非常复杂，并且承受随机风力载荷和随机波浪载荷，典型的设计分析中需要考虑70种以上的载荷组合。可想而知，用时域分析进行动力响应计算是非常困难的。
而有限元方法的频域响应分析可以大大简化问题的复杂性。设计人员可以对结构的FEM模型先做一个频域响应，得到结构的应力与波高的传递函数。这样他就可以简单地把传递函数乘上波高的PSD得到应力的PSD，从计算结果设计人员不光可以判断发生疲劳的部位，还可以知道引起该部位的疲劳损伤的主要局部模态进而提出改进方案。
文献[1] - [5] 分别显示了频域疲劳分析在航空/航天，汽车，铁路，海洋平台的运用得到了广泛的关注。
疲劳损伤的S-N分析
任何疲劳分析的起点都是结构或者部件的响应。在准静态和时域分析中常常是用应力或者应变的时间历程。疲劳发生在应力或者应变时间历程的循环过程。应力幅值和平均应力是两个重要的参数。目前，应力幅值和平均应力是采用上世纪70年代日本学者提出的雨流计数法( Rainflow Cycle Counting)从时间历程里抽取出来的。下面是一个利用雨流计数法从时域信号抽取的应力幅值和平均值的例子[6]。雨流计数法的输出常常是以幅值和平均值的柱状图来表示的(图1)。应力时间历程雨流计数法的输出结果，X轴为每个循环的应力幅值，y轴为平均应力；z轴为循环次数。
图1. 典型应力时间历程雨流计数法的输出结果
每个循环都会引起一定的疲劳损伤，可以从每个循环的损伤叠加得到时间历程的总体损伤。常用的方法为Palmgren-Miner累计损伤法。
每个应力循环引起的损伤可以用材料的寿命曲线（SN Curve）来计算。寿命曲线（SN Curve）表述了在一定的应力幅度（S）下，材料失效所需的载荷次数（Nf）。在N次载荷下，材料的损伤可以从材料失效所需的载荷次数的比例关系得到。用Palmgren-Miner 累计损伤法可以表达为：
Ni是某一个特定应力幅值/平均的加载次数；i是幅值和平均值组合的可能个数；Nf在特定幅值和平均值组合的应力下材料失效的加载次数；这样就可以用材料失效的比例关系表达来累计损伤。部件的疲劳损伤可以用下式表示：
频域疲劳分析方法
基于频域的快速疲劳寿命计算的需求是在上世纪80年代首先从海洋工程来的。需要设计大型海洋平台同时需要避免疲劳损伤。由于结构很大而且载荷组合太多时域响应计算非常困难。波载荷风载数据可以用频域的功率谱密度表示，显然利用频域分析加快疲劳寿命计算更合理。问题是如何利用应力的功率频谱密度来得到足够精确的疲劳寿命计算结果。
频域振动疲劳分析的方法是直接利用应力的频域功率普密度（PSD）来再现应力时间历程，并用式（1）和（2）来计算疲劳寿命。
频域是表述时域信号的另一种形式，现在x轴代表频率而不是时间。把时域信号转换到频域时，我们把信号传换成离散的，不同幅值/频率/相位的正弦波。这些正弦波叠加起来就是原来的时间历程。这种把时域信号转换正弦信号的方法称为“傅里叶变换”。每个正弦矢量有一个幅值和相位。
实际上我们常常把频域信号表达为“功率频谱密度（PSD）”图。这个归一化的图表述了每个正弦波对于其频率的均方值。图2是一个典型的功率频谱密度（PSD）。正弦波的均方值是通过计算PSD曲线下某一个频率范围的面积得到的。均方值可以用式（3）来计算。
图2. 随机时间历程的功率谱密度
从频域信号转换成时域信号我们通常把频域的复数矢量进行傅里叶反变换，就可以得到原来的时域信号。值得注意的是， 因为功率谱密度（PSD）不包含相位信息，傅里叶反变换用于功率谱密度并不能完全再现原来的时域信号。但是对于各态历经固定相的高斯分布随机过程，我们可以取出一段时间的时间历程，假设它代表了原始的时间历程的统计特性，如此假设是偏于安全的。实际上我们看到许多自然现象属于各态历经固定相的高斯分布随机过程，比如风速和波高。严格地说，发电机、发动机、汽车路载并不属于各态历经固定相的高斯分布随机过程。但是中心极限定理告诉我们这些现象基本满足各态历经固定相的高斯分布随机过程的假设。
1964年Bendat[7]提出的第一个利用功率谱密度来评估疲劳寿命的方法， 1985年Dirlik提出了的一个利用Monte Carlo技术的经验方法，20年间， 频域振动疲劳理论得到了不断的发展和验证。 Bishop[8]做了大量的工作证明了Dirlik方法在不同的雨流范围都有很好的计算精度。表（1）是一个用频域计算的Howden HWP330的风力涡轮机的疲劳寿命与用时域方法的比较。从表上可以看到，Dirlik方法非常稳定，与时域计算结果的平均差别只有4%。在本介绍系列文章（二）里，我们将介绍Dirlik方法的理论细节。
表1. 不同频域疲劳寿命计算方法的比较
MSC Nastran Embedded Vibration Fatigue（NEVF）介绍
频域疲劳分析虽然具有很多明显的优点，其精度的可靠性也已经从大量的研究工作得到了证实。但是目前的商业有限元软件存在的技术瓶颈，严重阻碍了该方法的普及和应用。
MSC Nastran的最新版本2017推出了频域振动疲劳分析的MSC Nastran Embedded Vibration Fatigue （NEVF）模块。它突破了一直困扰用户采用频域振动疲劳分析方法的瓶颈，使频域振动疲劳分析得到真正普及，广大设计工程师能充分享受其优异性的第一款商业软件。
如图（3）所示，对于时域疲劳分析，100个载荷时间历程（event）的工况需要用Nastran SOL112计算100次，而对于频域分析，只需要用Nastran SOL111计算一次。在减少了计算时间的同时，提供了大大提高计算模型规模的可能性。
图3. 时域疲劳分析计算和频域疲劳分析计算得比较
另外，如图(4)所示，NEVF提供了多达100个通道的时间历程自动转换成功率普密度和它们之间的互功率谱的自动转换工具（Time2PSD）。
图4. 多通道时间历程的PSD自动转换
NEVF还实现了确定性载荷（正弦波），正弦扫描载荷，窄频带与宽频带随机载荷的叠加（图5）。使得自然载荷，试验载荷与FEM分析载荷更接近。在FEM分析中更能忠实的表现实际的工作载荷或者试验条件。
图5. 各种载荷类型的叠加
NEVF还能利用Neuber缺口修正理论和材料的弹塑性数据，可以预测弹塑性峰值响应数据，并与线性结果进行比较（图6）。Neuber notch修正支持应变疲劳（考虑塑性应变），可以输出塑性因子，plasticity index=Ee-p/Ee，基于频域的应变寿命分析。
图6. 利用线性计算结果进行非线性评估
同时，由于频域振动和疲劳损伤在同一个求解器里计算，不需要保留中間結果，使得内存的利用率大大提高。并且可以在MSC Nastran的环境中，以疲劳寿命为约束，利用SOL200求解序列进行优化分析。同一工具完成多项工作，不仅能提高计算效率、降低用户的学习曲线，还可减少用户的采购费用。
总结
用有限元方法进行频域的疲劳分析的基础理论研究经历了30多年，已经日趋成熟。相对于时域疲劳分析，频域疲劳分析不但能够节省大量的计算时间，还能在预测结构的疲劳寿命的同时，进一步发现影响疲劳寿命的原因。通过查看PSD函数在频域上的分布，可以找到影响疲劳寿命的关键振动模态，并且发现关键部件和部位，从而对提高疲劳寿命提出有针对性的设计改善方案。
MSC Nastran在版本2017中推出了MSC Nastran Embedded Vibration Fatigue（NEVF），解决了许多阻碍频域振动疲劳方法推广的技术瓶颈。大大提高了频域振动疲劳分析的可操作性、计算效率和适用范围。
参考文献
[1] 吴涛等，“基于路谱频域的车身疲劳分析”，计算机辅助工程，第21卷 第2期，2012年4月；
[2] 康晨辰，聂宏，“飞机尾翼声振疲劳疲劳寿命分析”，学科分类号：082501， 论文编号：1028701 16-S155；
[3] 朴明伟，方吉，“基于刚柔耦合仿真的集装箱车体振动疲劳分析”中图分类号：U270 U272。6， 文献识别码：A
[4] 孟凡涛，胡愉愉，“基于频域法的随机振动载荷下飞机结构疲劳分析”，中航工业西安飞机工业集团技术中心，南京航空航天大学学报，第44卷 第1期，2012年2月；
[5] 管鹏，肖守衲，“铁道车辆设备随机振动疲劳寿命分析”， 国内图书分类号：U260。39，2012；
[6] Andrew Halfpenny，"A frequency domain approach for fatigue life estimation from Finite Element Analysis"， DAMAS 99， Dublin;
[7] Bendat JS (1964)。 “Probability Functions for random responses。” NASA report on contract NAS-5-4590
[8 ]Bishop NWM，Hu Z， Wang R， (1003)。“Methods for rapid evaluation of fatigue damage on the Howden HWP330 wind turbine”， British Wind Energy Conference， York。
